关于 Asin(ωx+φ)+B 周期的误区

原题

（多选）将函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$ 的图象向左平移 $\dfrac\pi2$ 个单位，若所得图象与原图像重合，则 $\omega$ 的值可能为（  ）。

A. $2$  B. $4$  C. $6$  D. $8$

正解

$\dfrac\pi2=kT\,(k\in Z),$

$\omega=\pm\dfrac{2\pi}{T}=\pm\dfrac{2\pi}{\tfrac{\pi}{2k}}=\pm4k\,(k\in\Z).$

故选 BD。

错解

$\cos$ 参数增加值 $\dfrac{\omega\pi}{2}=kT=\dfrac{2k\pi}{\omega}\,(k\in\Z),$

$\therefore \omega=\sqrt{4k}=2\sqrt{k}\,(k\in\Z).$

故选 ABCD。

分析

错解将“$A\cos(\omega x+\varphi)+B$ 对于 $x$ 的周期”与“$\cos$ 函数参数值的周期”混为一谈，事实上前者的值 $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$ 与后者的值 $2\pi$ 不一定相等。